시간 제한 없음은 정말 무제한, 대기실 설정은 바꾸면 바로 적용, 모르는 사람 기다리기(빠른 시작·공개 방) 제거

- 오목에서 [시간 제한 없음]을 골라도 30초가 흐르던 문제: 대기실 설정이 [설정 저장]을 눌러야
  서버에 반영되어, 누르지 않고 [게임 시작]하면 기본값(한 수 30초)으로 시작했다. 이제 설정은
  바꾸는 즉시 서버에 보낸다(저장 버튼 없음, 휴대폰 시트는 [닫기]만). 빠르게 여러 번 눌러도
  먼저 온 방 정보가 새 값을 되돌리지 않게 lib/option-sync.ts로 맞춘다.
- 시간 제한 없음(오목·체스·장기·오델로·바둑·쿼리도): 무응답 한도(idleLimitSec, 5~10분 뒤 시간패)와
  그 카운트다운을 없앴다. 체스는 첫 수 제한도 피셔일 때만. 연결이 끊긴 사람의 접속 유예는 그대로.
- 홈의 [지금 열린 방] 탭, 게임 소개의 [아무나와 빠른 시작]·기다리는 방 목록, 대기실의 방 공개
  설정을 뺐다(방은 모두 친구만). 서버 API는 남겨 두고 화면에서만 부르지 않는다.

Co-Authored-By: Claude Opus 5.5 <noreply@anthropic.com>

docs/07-ui-ux.md

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 │ [▶ 하던 게임으로 돌아가기] (있을 때만)                                        │
 │ [＋ 방 만들기 (파란 큰 버튼)]   [🔢 코드로 참여 → /j]   [🤖 컴퓨터와 연습]        │
 ├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
-│ [🎮 게임 고르기] [🚪 지금 열린 방 (n)]   ← 탭, 한 번에 하나만 보임                 │
-│ 게임 카드 격자 (4~5열, 카드에 인원·시간·난이도)  또는  공개 방 목록(게임·인원·참여)  │
+│ 게임 카드 격자 (4~5열, 카드에 인원·시간·난이도)                                   │
 └──────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
 ```
 - 첫 화면에 다 넣지 않는다. 설명 글은 버튼 아래 한 줄만, 나머지는 탭이나 버튼을 눌러 들어간다.
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 - 홈(로그인 전/후, 진행 중 게임 있음)
 - 닉네임 입력(게스트 시작 / 링크 입장)
 - 코드 입력
-- 게임 상세 + 공개 방 목록
+- 게임 상세
 - 대기실(방장/참가자/관전자, 인원 부족/가득 참)
 - 게임 화면(내 차례/남의 차례/연결 끊김/자리 비움/일시 정지)
 - 결과 화면(승/패/무승부, 한 판 더 투표 중, 처음부터 다시 보기)