시간 제한 없음은 정말 무제한, 대기실 설정은 바꾸면 바로 적용, 모르는 사람 기다리기(빠른 시작·공개 방) 제거

- 오목에서 [시간 제한 없음]을 골라도 30초가 흐르던 문제: 대기실 설정이 [설정 저장]을 눌러야
  서버에 반영되어, 누르지 않고 [게임 시작]하면 기본값(한 수 30초)으로 시작했다. 이제 설정은
  바꾸는 즉시 서버에 보낸다(저장 버튼 없음, 휴대폰 시트는 [닫기]만). 빠르게 여러 번 눌러도
  먼저 온 방 정보가 새 값을 되돌리지 않게 lib/option-sync.ts로 맞춘다.
- 시간 제한 없음(오목·체스·장기·오델로·바둑·쿼리도): 무응답 한도(idleLimitSec, 5~10분 뒤 시간패)와
  그 카운트다운을 없앴다. 체스는 첫 수 제한도 피셔일 때만. 연결이 끊긴 사람의 접속 유예는 그대로.
- 홈의 [지금 열린 방] 탭, 게임 소개의 [아무나와 빠른 시작]·기다리는 방 목록, 대기실의 방 공개
  설정을 뺐다(방은 모두 친구만). 서버 API는 남겨 두고 화면에서만 부르지 않는다.

Co-Authored-By: Claude Opus 5.5 <noreply@anthropic.com>

e2e/bots.e2e.ts

@@ -79,8 +79,7 @@ try {
   await step('오목: 상세 → 컴퓨터와 연습하기 → 대기실', async () => {
     await startPractice(a, 'omok', '호랑이');
     await a.getByText('🤖 컴퓨터').first().waitFor();
-    // The host is seated first, the computer next; no public toggle in a practice room.
-    await a.getByText('컴퓨터가 있는 방은 친구만 들어와요.').waitFor();
+    await a.getByText('🤖 연습 게임이에요. 기록에는 남지 않아요.').waitFor();
     await a.screenshot({ path: join(SHOTS, 'bots-1-lobby-pc.png') });
   });